音樂背後的數學
數學家萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）說：
“音樂是一種隱藏的算術練習，透過潛意識的心靈跟數目在打交道。”
近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky，1882-1971）說：
“音樂的形式較近於數學而不是文學，音樂確實很像數學思想與數學關係。”
他注意將“像數學思想的東西”溶入他的音樂作品之中。
音樂為何悅耳、調和、美呢？
田野中昆蟲啁啾的鳴叫，枝頭鳥兒清脆的叫聲，《牧笛》優美動聽的旋律，貝多芬令人振奮的交響曲……，
你當沉浸在這些美妙的音樂中時，你是否想到了它們與數學有著密切的聯繫呢？
人們對數學與音樂之間聯繫的研究和認識，可以說源遠流長。
相信音樂的背後有數學規律可循，並且努力去追尋出音律，是西元前5、6世紀最著名的畢達哥拉斯學派。
而中國古代的“三分損益法” 就是通過數學運算研究音律的方法。
人們常用的樂譜也是數學在音樂上應用得最為顯著的地方之一。
一 音律背後的比例和分數乘法
音的高低由弦振動的頻率決定。如何定出音律，即定出音階：
C
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D
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E
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F
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G
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A
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B
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C
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do
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re
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mi
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fa
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sol
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la
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si
|
do
|
的頻率比？這是音樂的根本問題。
1．畢達哥拉斯琴弦律
畢達哥拉斯發現音律有一段美麗的故事。
有一天畢達哥拉斯偶然經過一家打鐵店門口，被鐵錘打鐵的有節奏的悅耳聲音所吸引。
他感到很驚奇，於是走入店中觀察研究。
他發現有四個鐵錘的重量比恰為12：9：8：6，將兩個兩個一組來敲打都發出和諧的聲音，
分別是：12:6=2:1的一組，12:8=9:6=3:2的一組，12:9=8:6=4:3的一組。
畢達哥拉斯進一步用單弦琴做實驗加以驗證，參見圖。
單弦琴
對於固定張力的弦，利用可自由滑動的琴馬來調節弦的長度，一面彈，一面聽。
畢達哥拉斯經過反覆的試驗，終於初步發現了音樂的奧秘，歸結出畢達哥拉斯的琴弦律：
（1）當兩個音的弦長成為簡單整數比時，同時或連續彈奏，所發出的聲音是和諧悅耳的；
（2）兩音弦長之比為4:3，3:2及2:1時，是和諧的，並且音程分別為四度、五度及八度。
也就是說，
如果兩根繃得一樣緊的弦的長度之比是 2 : 1, 同時或連續彈奏，就會發出相差八度的諧音; 而如果兩條弦的長度的比是 3 : 2時，就會發出另一種諧音，短弦發出的音比長弦發出的音高五度; 等等。
物理學家伽利略(1564-1642)發現弦振動的頻率跟弦長成反比。
因此，我們可以將畢達哥拉斯所採用的“弦長”改為“頻率”來定一個音的高低。
從而畢達哥拉斯的發現就是：兩音的頻率比為1:2，2:3及3:4時，分別相差八度、五度及四度音。例如，頻率為200與300的兩音恰好相差五度音。
二 樂譜上的分數
在樂譜中, 我們可以找到拍號、 單純音符、附點音符等，莫不與分數息息相關。
譜寫樂曲要使音符適合於每音節的拍子數，這實質是分數求和的過程——
在一個固定的拍子裏，不同時值的音符必須使它湊成一個特定的節拍。
在每一首樂曲的開頭部分，我們總能看到一個分數，比如4/4,3/4 ，或6/8等，
這些分數是用來表示不同拍子的符號，即拍號。
其中分數的分子錶示每小節中單位拍的數目，分母表示以幾分音符為一拍。
如 ，4/4表示以四分音符為一拍，每小節4拍。
拍號一旦確定，那麼每小節內的音符就要遵循由拍號所確定的拍數，
這可以通過數學中的分數加法法則來檢驗。
比如，就符合由拍號4/4和3/4分別所確定的拍數。
因為1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;
而不符合由拍號4/4和3/4分別所確定的拍數，
因為 1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。
這些看似簡單的要求正是音樂作曲的基礎。
對樂聲本質的研究，在19世紀法國數學家傅立葉的著作中達到了頂峰。
他證明了所有的樂聲——不管是器樂還是聲樂——都能用數學運算式來描述，
它們是一些簡單的正弦週期函數的和。
每種聲音都有三種品質：音調、音量和音色，並以此與其他的樂聲相區別。
傅立葉的發現，使人們可以將聲音的三種品質通過圖解加以描述並區分。
音調與曲線的頻率有關，
音量與曲線的振幅有關，
而音色則與週期函數的形狀有關。
很少有人既通曉數學又通曉音樂，這使得把電腦用於合成音樂及樂器設計等方面難於成功。
數學的發現，即週期函數，是現代樂器設計和電腦音響設計的精髓。
許多樂器的製造都是把它們產生的聲音的圖像，與這些樂器理想聲音的圖像相比較然後加以改進的。電子音樂的創作也跟週期圖像緊密聯繫著的。
音樂家和數學家們將在音樂的創作與再創作方面，繼續擔任著同等重要的角色。
事實上，隨著對數學與音樂關係之認識的不斷加深，以數學計算代替作曲，已成為現代作曲家的一種創作方式。
創作樂曲乃是將作曲的過程公式化，把音程、節奏、音色等素材都編成數位，然後按照需求發出指令，以計算器的功能進行選擇，再將其結果編寫成樂曲並演奏出來。
在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂製作等等方面，都需要數學。
在音樂界,有一些數學素養很好的音樂家為音樂的發展做出了重要的貢獻。
所以，對音樂表演和創造有愛好或特長的學生如果能學好數學，必然能更好地為從事音樂事業作知識預備。
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