皮克斯：動畫電影背後的數學

《皮克斯：動畫電影背後的數學 - 東尼德羅斯（Tony DeRose）》

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皮克斯裡的各位，他們在世界上以述說故事和製作動畫聞名，卻很少被認為是數一數二的數學高手，皮克斯研究團隊領導東尼德羅斯（Tony DeRose）探索隱藏在動畫背後的數學，讓你了解算數、三角函數和幾何學，是如何使胡迪和其他你喜愛的動畫人物，活靈活現地呈現在你眼前。

講者：

東尼德羅斯 Tony DeRose.

皮克斯擅長說故事，但有個故事並不廣為人知，就是運用在動畫中大量的數學。

你在初中和高中，所學到的數學，在皮克斯中無所不在。

舉個很簡單的例子，有人認識這他嗎？這是《玩具總動員》裡的「胡迪」。

讓胡迪走向另一邊，就像這樣，從左到右，你相信嗎？你剛看到了一堆數學。

在哪呢？我解釋一下。

你要知道，藝術家和設計師腦子裡想的都是圖像和意象，但電腦裡運作的都是數字和方程式。

為了要讓兩者結合，我們運用了數學概念，稱為「幾何座標」。

我們設定一個座標系統，x 軸表示物件向右移動的距離，y 軸則決定物件的高度。

有了座標，就能讓胡迪出現在任何地方。

舉例來說，如果我們知道左下角圖像的座標，那就能知道其他的圖像在哪了。

剛才看到的動畫，就叫做平移。

x 座標值從 1 開始，在大約 5 的地方停下。

如果用數學的方式表示x 值比剛開始大四個值，換言之，平移的數學，就是加法。對吧？

那進位法呢？功能是讓物件變大或變小。

猜猜進位法的數學應該是什麼？

擴大、乘法，沒錯。

如果要把東西放兩倍大，x 值和 y 值都要加乘，都乘上 2，顯示了進位法的數學就是乘法。

好的，那這個呢？讓圖像旋轉。旋轉的數學就是三角函數。

這是解釋三角函數的方程式，乍看有點嚇人，你在八或九年級時可能學過，假如你坐在教室裡學三角函數，想著以後又不可能用到這東西。

只要記住：

任何你在我們電影裡看到會旋轉的東西，就關係著三角函數。

我七年級時第一次愛上數學，現場有七年級生嗎？有一些是。我那時候的自然老師告訴我，怎麼用三角函數，計算我正在建造的火箭高度，我當時覺得很神奇，從此我就對數學死心蹋地。

這有點老數學了，數學是在古希臘時期發展並廣為人知。

有個傳說，有趣的數學都已被理解。事實上，是所有數學都已被理解。

但新的數學卻是一直持續的創造，且有些是皮克斯創造的。

我要舉個例子：這些角色來自一些我們早期的電影。

《海底總動員》、《怪獸電力公司》、《玩具總動員 2》。

誰知道左上角那個藍色的角色是誰？是「多莉」，這很容易這個就比較難了。

有人知道右下角那個角色是誰嗎？「艾爾玩具城」的老闆「艾爾」，沒錯。

注意這些角色，他們都很複雜，他們的形體非常複雜。

清理玩具的爺爺，我有個樣本，畫面中間的是清理玩具的爺爺，這是他的手，你能想像這隻手過海關會多麼有趣。這隻手的形狀很複雜，這不只是一堆球體和圓柱體黏在一起，它不只很複雜，甚至還要進行複雜的活動。

我現在告訴你這怎麼做的，我要先告訴你什麼是中點，這裡有兩個點，A 點和 B 點，兩點間有一條線段，我們從兩個面向討論。M 是中點，平分該線段，這是幾何學。

為了寫出方程式和數字，我再次介紹座標系統，如果已得知 A 和 B 的座標，就可以藉由算出平均。輕易得到 M 的座標。

你現在對皮克斯的工作已有足夠了解，我秀給你看，我要做的這個有點嚇人，移動一個會動的樣本。這裡有一個四角形，我現在要把這個弄成圓滑的曲線，只是運用中點的概念。

我首先要做的就是平均分割，把各邊都加上中點，如此 4 個點就變 8 個點，這並沒有使其變圓滑，我現在要讓它圓滑一點，順時針移動這些點，到鄰近的中點，移動一下，這就叫做平均線移，現在上面有 8 個點，變圓滑了一些，我要把它弄得更圓滑，我該怎麼做？

重複剛才的動作，現在變16個點，我現在要把平均分割和平均線移，兩個步驟合在一起，稱為細分。

意思就是先分割再線移，變 32 個點。

如果不夠圓滑，就再重複一次，變 64 個點，有看到變形後的曲線。

跟原來四個點的差別嗎？

我們就是如此創造出各角色的外型。

但記得我剛說過，只了解這種靜止且固定的形狀是不夠的，我們要讓它動起來，讓曲線動起來，這就是細分的厲害。

記得《玩具總動員》裡的三眼外星人嗎？

你認得他們的聲音「噢～」看好，所以我們要移動這個曲線，就只要移動原本的四個點，

「噢～」我覺得這很酷，如果你不這麼覺得，大門就在那，這對我們彼此都好。

平均分割與平均線移的概念，也用在平面外觀，先分割再線移，再次分割和線移，兩個放在一起就是細分，我們就是如此創造出角色的 3D 外型。

細分的概念在1997年，我們首次運用在動畫短片，叫做《棋局》。

主角「傑瑞」有立體的外表，他就是《玩具總動員 2》清理玩具的爺爺。

他的兩隻手，是我們第一次運用到細分，兩隻手都是細分後的表面，臉部也是，他的夾克也是。

這是傑瑞細分前的手，這是細分之後，所以細分只是讓各個表面往內縮或往外凸，而做出漂亮的外觀，就成了你在電影院裡所見的那樣。從那之後，我們都是用此法創出角色。

這是《勇敢傳說》裡的「梅莉達」，她穿的衣服就是細分表面，雙手、臉都是。

那些族人的臉、手，也都是細分表面。

今天看到了我們運用動畫角色上的加法、乘法、三角函數和幾何學。

如果再給我一點時間，我就能介紹線性代數、微分和積分也如何囊括在內。

今天我主要是要讓你們知道，

記得你在高中到大二間所學的數學，

皮克斯無時無刻都在使用。

謝謝！